Тема. Найпростіші перетворення графіків функцій
Мета: а)навчальна:
1) сформувати розуміння учнями змісту поняття «перетворення графіка функції»
2) сформувати знання учнів про основні види геометричних перетворень графіків функцій;
3) сформувати первинні уміння «читати» графіки функцій;
4) виконувати побудови графіків функцій за допомогою найпростіших перетворень;
б) виховна:
подовжувати виховувати в учнів уважність, охайність в оформленні математичних задач, доброзичливість, активність, дисциплінованість, ініціативність, наполегливість, спостережливість, товариськість, кмітливість, гуманність.
в) розвиваюча:
розвивати творче, логічне мислення, увагу, пам’ять, спонукати до пізнавальної, творчої діяльності.
Тип уроку: формування знань і первинних умінь.
Наочність та обладнання: опорний конспект, додатковий матеріал.
Хід уроку
I. Організаційний етап
(Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу).
Розминка
Така розминка формує культуру мовлення, привчає використовувати етикетні формули:
– Діти, давайте сьогоднішню зустріч розпочнемо з побажань.
– Доброго ранку, Марійко, я бажаю тобі веселого дня!
– Доброго ранку, Лесику, я дуже радий тебе бачити!
– Вітаю тебе, Тетянко, я хочу щоб день у тебе був щасливим!
II. Перевірка домашнього завдання
Тестові завдання
1. На рисунку зображений графік функції, область визначення якої D(f) = R. Правильним є твердження:
а) нулі функції: 2; 2,5; f(x) зростає, якщо х [-2; 3]; f(x) < 0, якщо x (5; +∞);
б) нулі функції: 2; 5; f(x) зростає, якщо x [-2; 2]; f(x) < 0, якщо х [5; +∞);
в) нулі функції:-2; 5; проміжок зростання x [-2; 2]; f(х) < 0, якщо х (5; +∞);
г) нулі функції: 3; проміжку зростання немає; f(x) < 0, якщо x (-∞; -2) і x (2; +∞).
ІІІ. Актуалізація опорних знань.
Питання автору (у формі інтерв'ю)
1. Що таке функція?
2. Що називають аргументом функції?
3. Що називають областю визначення функції?
4. Що називають значенням функції?
5. Що називають областю значень функції?
6. Яке значення аргументу називають нулем функції?
7. Поясніть, що називають проміжком знакосталості функції?
8. Яку функцію називають зростаючою?
9. Яку функцію називають спадною?
10. Повторимо елементарні функції, які ви вивчали у 7-8 класах, їх властивості та графіки, використовуючи опорний конспект №1
Опорний конспект №1
а) Лінійна функція у = kx+b.
k>0 k<0 k=0
Властивості:
1) D(y) = R;
2) E(y) = R, якщо k 0; якщо k=0, то y=b;
3) Нулі функції x = -b/k, k≠0;
4) Якщо k>0, то функція є зростаюча,
якщо k<0, то функція – спадна;
якщо k=0, то функція – стала.
5) Проміжки знакосталості:
якщо k<0, то y>0 при x<-b/k; y<0 при x>-b/k;
якщо k>0, то y>0 при x>-b/k; y<0 при x<-b/k;
6) Графіком функції є пряма:
якщо k>0, то пряма утворює з додатнім напрямом осі х гострий кут,
якщо k<0 – тупий кут,
якщо k=0, то графік паралельний осі Ох.
б) Пряма пропорційність y=kx, k≠0
Властивості:
1) D(y) = R;
2) E(y) = R;
3) Нулі функції: x = 0;
4) Якщо k>0, то функція є зростаюча,
якщо k<0, то функція – спадна.
5) Проміжки знакосталості:
якщо k<0, то y>0 при x<0; y<0 при x>0;
якщо k>0, то y>0 при x>0; y<0 при x<0;
6) Графіком функції є пряма, яка проходить через
точку (0;0).
в) Обернена пропорційність y=k/x, k≠0
k<0 k>0
Властивості:
1) D(y) = (-∞;0)U(0;+∞);
2) E(y) = (-∞;0)U(0;+∞);
3) Функція нулів не має;
4) Якщо k>0, то функція спадає на всій області визначення,
якщо k<0, то функція зростає на всій
області визначення;
5) Проміжки знакосталості:
якщо k<0, то y>0 при x<0; y<0 при x>0;
якщо k>0, то y>0 при x>0; y<0 при x<0;
6) Графіком функції є гіпербола, яка складається з двох віток.
г) Функція
Властивості:
1) D(y) = [0;+∞);
2) E(y) = [0;+∞);
3) Нулі функції: x = 0;
4) Функція є зростаючою на всій області визначення;
5) Проміжки знакосталості:
y >0 при ;
6) Графіком функції є вітка параболи, що розташована
в І координатній чверті.
е) Функція y= x3
Властивості:
1) D(y) = R;
2) E(y) = R;
3) Нулі функції: x = 0;
4) Функція є зростаючою;
5) Проміжки знакосталості:
y >0 при ;
y <0 при ;
6) Графіком функції є кубічна парабола.
є) Функція y= x2
Властивості:
1) D(y) = R;
2) E(y) = [0;+∞);
3) Нулі функції: x = 0;
4) Функція: зростає на проміжку [0;+∞),
спадає на проміжку [-∞;0);
5) Проміжки знакосталості:
y >0 при ;
6) Графіком функції є парабола.
3. На одному з рисунків зображено графік функції у = 2х. Укажіть цей рисунок.
IV. Мотивація навчальної діяльності учнів.
Як відомо, функцію можна задати формулою, графіком та таблицею. Досліджувати функцію за готовим графіком є більш просто, ніж за формулою. В ряді випадків при розв’язуванні задач буває необхідно побудувати графік функції, яка не є елементарною.
Наприклад: y = x2 + 2; y = ; y = ; y = – x2; y = 2 ; y = 1/2 x3.
Отже, постає питання:
чи існують засоби (і якщо існують, то як ними користуватися), за допомогою яких можна побудувати графіки вище наведених функцій, використовуючи при цьому вміння будувати графіки елементарних функцій. Зрозуміло, що пошук відповіді на поставлене питання і є основною дидактичною метою модуля.
V. Постановка мети та завдань.
Повідомлення теми, мети, типу уроку та форми його проведення.
VI. Вивчення нового матеріалу.
Найпростіші перетворення графіків функцій
№ з/п Формула залежності Приклад Перетворення
1 y = -f(х) Симетрія відносно осі Ох
2 y = f(х) + a Паралельне перенесення вздовж осі Оу на а одиниць (якщо а > 0, то вгору, якщо а < 0, то вниз)
3 y = f(х + a) Паралельне перенесення вздовж осі Ох на +а одиниць (якщо а > 0 — вліво, якщо а < 0 — вправо)
4 y = kf(х) (k > 0) Той самий вигляд, що і y = f(x), тільки розтяг-нуто, якщо k> 1, і стиснуто, якщо 0 < k < 1
1. Побудова графіка функції y=f(x)±c, с>0.
Дослідження 1. (робота на комп’тері)
В одній системі координат будуємо графіки функцій y=x2, y=x2 + 2, y=x2 – 1
Учні аналізують побудовані графіки, роблять висновок та складають алгоритм побудови.
Алгоритм побудови:
1) Побудувати графік y=f(x);
2) Паралельно перенести побудований графік у напрямі осі Оу
вгору на с одиниць, якщо y=f(x) + с;
вниз на с одиниць, якщо y=f(x) – с.
2. Побудова графіка функції y=f(x±а), а>0.
Дослідження 2. (робота на комп’ютері)
В одній системі координат будуємо графіки функцій y=x2,у=(х+3)2, у=(х-2)2
Алгоритм побудови:
1) Побудувати графік y=f(x);
2) Паралельно перенести побудований графік у напрямі осі Ох
вправо на а одиниць, якщо у= f(x–а);
вліво на а одиниць, якщо у= f(x+а).
3. Побудова графіка функції y= –f(x).
Дослідження 3. (робота на комп’ютері)
В одній системі координат будуємо графіки функцій y=x2, у= – x2
Алгоритм побудови:
1) Побудувати графік y=f(x);
2) Відобразити побудований графік
симетрично відносно осі Ох.
4. Побудова графіка функції y=f(–х )
Дослідження 4. (робота на комп’ютері)
В одній системі координат будуємо графіки функцій y= , y =
Алгоритм побудови:
1) Побудувати графік y=f(x);
2) Відобразити побудований графік
симетрично відносно осі Оу.
Дістанемо графік y=f(-х)
5. Побудова графіка функції y=kf(х)
Дослідження 5. (робота на комп’ютері)
В одній системі координат будуємо графіки функцій у= 2х2, у=1/2х2
Алгоритм побудови:
1) Побудувати графік y=f(x);
2) Розтягнути його в k разів від осі Ох, якщо
k>1, стиснути до осі Ох в 1/k разів,
якщо0<k<1
VІI. Розв’язування тренувальних вправ
Завдання з книги
VIII. Рефлексія задоволення своєю роботою.
XI. Підсумки уроку
X. Домашнє завдання